最近觉得静不下心来，感觉也没啥自信了（）

故重新以一个小白的身份找了本数论基础书开始学下，本文主要是记录书中习题的习题及答案（实时更新）。

使用的书是《具体数论与代数》，后续提到的编程题均使用Python来做

一、整数与二进制

第一题

题目描述：

用 C 语言编程实现判断输入是否为偶数的函数is_even，即输入一个整数，如果输入为偶数，返回 True，否则返回 False。另外，实现判断输入是否为奇数的函数is_odd，即输入一个整数，如果输入为奇数，返回 True，否则返回 False。

作答：

要做这道题，首先就得清楚奇数与偶数各自的特点：

奇数，即除2后的余数为1的数，比如1、3、5…

偶数，即除2后的余数为0的数，比如0、2、4、6…

既然是跟余数相关，那便离不开求余运算符%了。

由此，对于我们的题目而言便转换成这样的意思（本题为两问）：

1，假如有一个数 $x$，如果x%2==0则为偶数，否则为奇数

2，假如有一个数 $x$，如果x%1==0则为奇数，否则为偶数

解题代码：

# Input: one integer x.
# Output: result that "judge if x is even".
def is_even(x):
    # x%2==0
    if not x % 2:
        return True
    else:
        return False

# Input: one integer x.
# Output: result that "judge if x is odd".
def is_odd(x):
    # x%2==1
    if x % 2:
        return True
    else:
        return False

第二题

题目描述：

给定一个整数 $v$，如何判断 $v$ 是否 2 的某次方？比如，$v = 4 = 2^2$，返回 True；$v=9=2^3+1$ 并非2的次方，返回 False。请写一个 C 语言的函数来实现以上功能。

作答：

要做这道题，得看看 “2的某次方” 有啥特点。在书中有说：

给定任意自然数 $n$, 十进制数 $2^n$ 的二进制数表达就是在 $1$ 后加 $n$ 个 $0$，即：$0b1\ 000\cdots0$

给定任意自然数 $n$, 十进制数 $2^n-1$ 的二进制数表达就是在 $0$ 后加 $n$ 个 $1$，即：$0b0\ 111\cdots1$（此处只是为了与上一句对应，解释以书上所说为准）

此时会发现：

也就是说：假如一个数 $x$ 是 “2的某次方”，则有 (x&(x-1))==0；因此我们可以通过这个条件进行判断。

解题代码：

# Input: one integer x.
# Output: result that "judge if x is a power of 2".
def is_power_of_two(x):
    # v should be larger than 0
    return x > 0 and (x & (x - 1)) == 0

第三题

题目描述：

用 C 语言编程实现一种迭代版本的简单乘法。

作答：

因为这在书上有讲，所以就不写了。

第四题

题目描述：

证明：对任意给定的整数 $a$ 和 $b$，其中 $b > 0$，存在唯一的整数对 $q$（商）和 $r$（余数）使得$a=qb+r,\ 0≤r<b$。

证明

1，存在性：

考虑集合：

由于 $b > 0$，当 $k$ 取足够小的整数时，$a - kb$ 可以取得任意大的正数，因此集合 $S$ 是非空的。根据良序原理（非负整数集的任何非空子集都有最小元），$S$ 存在最小元

设最小元为：

如果 $r \geq b$，则有：

且我们知道：

这与 $r$ 是 $S$ 的最小元 这一结论矛盾。

因此，$0 \leq r < b$，且 $a = qb + r$。

2，唯一性：

假设存在两组整数对 $(q, r)$ 和 $(q', r')$ 都满足：

则有：

但左边 $(q - q')b$ 是 $b$ 的整数倍，且$|r' - r| < b$；假如 $q \neq q'$，则 $|(q - q')b| \geq b$，这就与 $|r' - r| < b$ 矛盾。

因此 $q = q'$，进而有 $r = r'$。

To be continued…